Deux contrôles valent-ils mieux qu'un ?

Notons $F$ « le dossier est frauduleux », $S_1$ et $S_2$ les signalements des deux contrôles. L'énoncé donne $P(F)=0,02$, $P(\overline{F})=0,98$, et pour chaque contrôle $P_F(S_i)=0,90$, $P_{\overline{F}}(S_i)=0,05$.

1. Après un seul contrôle. Par les probabilités totales, $$P(S_1)=0,02\times 0,90+0,98\times 0,05=0,018+0,049=0,067.$$ Par Bayes, $$P_{S_1}(F)=\frac{0,018}{0,067}\approx 0,269.$$ Un dossier signalé une fois n'a donc que $26,9\%$ de chances d'être frauduleux : près de trois signalements sur quatre sont faux.

2. Après deux signalements. L'hypothèse d'indépendance une fois l'état connu permet de multiplier les probabilités conditionnelles : $$P_F(S_1\cap S_2)=0,90\times 0,90=0,81,P_{\overline{F}}(S_1\cap S_2)=0,05\times 0,05=0,0025.$$ Les probabilités totales donnent alors $$P(S_1\cap S_2)=0,02\times 0,81+0,98\times 0,0025=0,0162+0,00245=0,01865.$$ Et Bayes : $$P_{S_1\cap S_2}(F)=\frac{0,0162}{0,01865}\approx 0,869.$$

3. Le commentaire. La probabilité passe de $26,9\%$ à $86,9\%$ : un second signalement change complètement la lecture du dossier.

Pourquoi un tel saut. Un dossier sain peut être signalé une fois par malchance — cela arrive à un dossier sain sur vingt. Mais l'être deux fois n'arrive qu'à un sur quatre cents, tandis qu'un dossier frauduleux est signalé deux fois dans $81\%$ des cas. Le rapport des deux chemins passe donc de $\frac{0,018}{0,049}\approx 0,37$ à $\frac{0,0162}{0,00245}\approx 6,6$.

Le point délicat est l'hypothèse d'indépendance : elle vaut sachant l'état du dossier. Sans elle on ne pourrait pas multiplier, et si les deux contrôles se trompaient pour la même raison, le second n'apporterait rien.