Deux dossiers sans remise

Probabilités sur un univers fini · Arbre et tirages successifs · niveau 2

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Un lot de $10$ dossiers contient $3$ dossiers incomplets. On en tire deux successivement, sans remise. Construire l'arbre et calculer la probabilité d'obtenir deux dossiers incomplets, aucun, exactement un, au moins un.

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L'arbre. Au premier tirage, $\frac{3}{10}$ et $\frac{7}{10}$ . Au second il ne reste que $9$ dossiers, dont la composition dépend du premier tirage : $\frac{2}{9}$ ou $\frac{3}{9}$ pour un incomplet.

Deux incomplets. $\frac{3}{10} \times \frac{2}{9} = \frac{1}{15} \approx 0, 067$ ; aucun : $\frac{7}{10} \times \frac{6}{9} = \frac{7}{15} \approx 0, 467$ .

Exactement un. Deux chemins conviennent :

$\frac{3}{10} \times \frac{7}{9} + \frac{7}{10} \times \frac{3}{9} = \frac{21}{90} + \frac{21}{90} = \frac{42}{90} = \frac{7}{15} .$

Au moins un. Par le contraire : $1 - \frac{7}{15} = \frac{8}{15} \approx 0, 533$ .

Contrôle. $\frac{6}{90} + \frac{21}{90} + \frac{21}{90} + \frac{42}{90} = 1$ .

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