Deux fournisseurs

Exercice supplémentaire · niveau 1 (application) · mathématiques (ECT 1re année), chapitre 6 — Probabilités sur un univers fini · Conditionnement et indépendance

Énoncé

Une usine reçoit $60 %$ de ses pièces du fournisseur $F_{1}$ et $40 %$ de $F_{2}$ . Chez $F_{1}$ , $2 %$ des pièces sont non conformes ; chez $F_{2}$ , $7 %$ .

1. Calculer la probabilité qu'une pièce prise au hasard soit non conforme. 2. Une pièce s'avère non conforme : calculer la probabilité qu'elle vienne de $F_{2}$ .

Corrigé

Notons $N$ « la pièce est non conforme ». Les événements $F_{1}$ et $F_{2}$ forment un système complet : toute pièce vient de l'un ou de l'autre, et d'un seul. L'énoncé donne $P (F_{1}) = 0, 60, P (F_{2}) = 0, 40, P_{F_{1}} (N) = 0, 02, P_{F_{2}} (N) = 0, 07.$

1. La probabilité d'être non conforme. Formule des probabilités totales : $P (N) = P (F_{1}) P_{F_{1}} (N) + P (F_{2}) P_{F_{2}} (N)$ $= 0, 60 \times 0, 02 + 0, 40 \times 0, 07 = 0, 012 + 0, 028 = 0, 040.$ Quatre pour cent des pièces sont non conformes. C'est la somme des deux chemins de l'arbre qui aboutissent à $N$ .

2. L'origine d'une pièce non conforme. La question renverse le conditionnement : c'est la formule de Bayes. $P_{N} (F_{2}) = \frac{P ( F _{2} ) P _{F_{2}} ( N )}{P ( N )} = \frac{0 , 028}{0 , 040} = 0, 70.$

À lire attentivement. Le fournisseur $F_{2}$ ne livre que $40 %$ des pièces, mais il est à l'origine de $70 %$ des pièces non conformes. C'est lui qu'il faut auditer d'abord.

Contrôle : $P_{N} (F_{1}) = \frac{0 , 012}{0 , 040} = 0, 30$ , et $0, 70 + 0, 30 = 1$ .

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