Deux vendeurs indépendants

Exercice · niveau 2 · mathématiques (ECT 1re année), chapitre 6 — Probabilités sur un univers fini · Indépendance

Énoncé

Deux vendeurs reçoivent chacun un client, indépendamment l'un de l'autre. Le premier conclut une vente avec la probabilité $0, 3$ , le second avec $0, 4$ .

1. Calculer la probabilité que les deux concluent, puis qu'aucun ne conclue.

2. Puis qu'au moins un conclue, et qu'exactement un.

3. Le directeur annonce $0, 7$ pour « au moins une vente ». Qu'en penser ?

Corrigé

Notons $V_{1}$ et $V_{2}$ les événements « le premier (resp. le second) vendeur conclut ». L'énoncé donne $P (V_{1}) = 0, 3$ , $P (V_{2}) = 0, 4$ , et l'indépendance de $V_{1}$ et $V_{2}$ .

1. L'indépendance permet de multiplier : $P (V_{1} \cap V_{2}) = 0, 3 \times 0, 4 = 0, 12.$ L'indépendance passe au contraire, donc $V_{1}$ et $V_{2}$ sont eux aussi indépendants : $P (V_{1} \cap V_{2}) = 0, 7 \times 0, 6 = 0, 42.$

2. « Au moins un » est le contraire de « aucun » : $P (V_{1} \cup V_{2}) = 1 - 0, 42 = 0, 58.$ « Exactement un » se décompose en deux cas incompatibles : $P (V_{1} \cap V_{2}) + P (V_{1} \cap V_{2}) = 0, 3 \times 0, 6 + 0, 7 \times 0, 4 = 0, 18 + 0, 28 = 0, 46.$ Contrôle. $0, 12 + 0, 46 + 0, 42 = 1$ .

3. Le directeur a additionné : $0, 3 + 0, 4 = 0, 7$ . Or l'addition n'est licite que pour des événements incompatibles. Ici les deux vendeurs peuvent conclure tous les deux, et ce cas de probabilité $0, 12$ est compté deux fois. La correction est exactement $0, 7 - 0, 12 = 0, 58$ , la valeur trouvée plus haut.

Le point à retenir. Indépendants et incompatibles sont deux mots contraires : des événements indépendants de probabilités non nulles se réalisent ensemble avec une probabilité non nulle, donc ils ne sont jamais incompatibles. On multiplie pour l'intersection, on n'additionne jamais pour la réunion sans retrancher.

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