Deux vendeurs indépendants

Notons $V_1$ et $V_2$ les événements « le premier (resp. le second) vendeur conclut ». L'énoncé donne $P(V_1)=0,3$, $P(V_2)=0,4$, et l'indépendance de $V_1$ et $V_2$.

1. L'indépendance permet de multiplier : $$P(V_1\cap V_2)=0,3\times 0,4=0,12.$$ L'indépendance passe au contraire, donc $\overline{V_1}$ et $\overline{V_2}$ sont eux aussi indépendants : $$P(\overline{V_1}\cap \overline{V_2})=0,7\times 0,6=0,42.$$

2. « Au moins un » est le contraire de « aucun » : $$P(V_1\cup V_2)=1-0,42=0,58.$$ « Exactement un » se décompose en deux cas incompatibles : $$P\left(V_1\cap \overline{V_2}\right)+P\left(\overline{V_1}\cap V_2\right)=0,3\times 0,6+0,7\times 0,4=0,18+0,28=0,46.$$ Contrôle. $0,12+0,46+0,42=1$.

3. Le directeur a additionné : $0,3+0,4=0,7$. Or l'addition n'est licite que pour des événements incompatibles. Ici les deux vendeurs peuvent conclure tous les deux, et ce cas de probabilité $0,12$ est compté deux fois. La correction est exactement $0,7-0,12=0,58$, la valeur trouvée plus haut.

Le point à retenir. Indépendants et incompatibles sont deux mots contraires : des événements indépendants de probabilités non nulles se réalisent ensemble avec une probabilité non nulle, donc ils ne sont jamais incompatibles. On multiplie pour l'intersection, on n'additionne jamais pour la réunion sans retrancher.