Incompatibles ou indépendants ?

Le cas numérique. $A\cap B=\varnothing$ donne $P(A\cap B)=0$, tandis que $P(A)\times P(B)=0,30\times 0,50=0,15$. Les deux nombres diffèrent, donc $A$ et $B$ ne sont pas indépendants.

Le cas général. Supposons $A\cap B=\varnothing$, $P(A)>0$ et $P(B)>0$. Alors $P(A\cap B)=P(\varnothing )=0$ alors que $P(A)P(B)>0$ comme produit de deux réels strictement positifs. L'égalité de la définition est donc impossible.

La lecture conditionnelle. $P_A(B)=\frac{0}{P(A)}=0$ alors que $P(B)=0,50$ : apprendre que $A$ s'est produit fait passer la chance de $B$ de $0,50$ à $0$. C'est le contraire même de « ne rien apprendre ».

Un contre-exemple utile. Deux événements peuvent se croiser et être indépendants : « pair » et « multiple de $3$ » se croisent en $\{6,12\}$ et vérifient $\frac{1}{6}=\frac{1}{2}\times \frac{1}{3}$.