Indépendants ou non ?

La définition est unique : $A$ et $B$ sont indépendants lorsque $P(A\cap B)=P(A)\times P(B)$. On ne la devine pas, on la vérifie.

1. Le premier couple. $$P(A)\times P(B)=0,5\times 0,3=0,15=P(A\cap B).$$ Les deux nombres coïncident : $A$ et $B$ sont indépendants. On peut le relire ainsi : $P_A(B)=\frac{0,15}{0,5}=0,3=P(B)$ — apprendre que $A$ s'est produit ne change rien à la chance de $B$.

2. Le second couple. $$P(C)\times P(D)=0,4\times 0,25=0,10\ne 0,12=P(C\cap D).$$ Les deux nombres diffèrent : $C$ et $D$ ne sont pas indépendants. Ici $P_C(D)=\frac{0,12}{0,4}=0,30$, contre $P(D)=0,25$ : savoir que $C$ s'est produit augmente la chance de $D$.

3. Non, jamais. Supposons $A$ et $B$ incompatibles, avec $P(A)>0$ et $P(B)>0$. Alors $A\cap B=\varnothing$, donc $P(A\cap B)=0$, tandis que $P(A)\times P(B)>0$ comme produit de deux nombres strictement positifs. Les deux membres ne peuvent pas être égaux : l'indépendance est impossible.

C'est logique : savoir que $A$ s'est produit interdit $B$, ce qui est le contraire exact de « ne rien apprendre ». La ressemblance des deux mots est un piège de la langue française, pas une parenté mathématique.