L'indépendance passe au contraire

La démonstration. L'événement $A$ se découpe en deux morceaux incompatibles, $A\cap B$ et $A\cap \overline{B}$, donc

$$P(A\cap \overline{B})=P(A)-P(A\cap B)=P(A)-P(A)P(B),$$

où la seconde égalité utilise l'indépendance de $A$ et $B$. En factorisant,

$$P(A\cap \overline{B})=P(A)(1-P(B))=P(A)P(\overline{B}),$$

ce qui est exactement la définition de l'indépendance de $A$ et $\overline{B}$.

L'application. $P(A\cap \overline{B})=0,40\times 0,75=0,30$, que l'on retrouve par $0,40-0,40\times 0,25=0,40-0,10=0,30$.

Ce que cela autorise. On peut passer librement aux contraires dans un calcul d'indépendance : c'est ce qui permet d'écrire $P(\text{aucune panne})=0,95\times 0,92$.