Multiples de trois et de cinq

Il y a équiprobabilité, donc chaque probabilité est le quotient du nombre de cas favorables par $\mathrm{Card}(\Omega )=30$.

L'événement $A$. Les multiples de $3$ entre $1$ et $30$ sont $3,6,\dots ,30$ : il y en a $\frac{30}{3}=10$. Donc $$P(A)=\frac{10}{30}=\frac{1}{3}.$$

L'événement $B$. Les multiples de $5$ sont $5,10,\dots ,30$ ; le plus grand est $30$, et il y en a $\frac{30}{5}=6$. Donc $$P(B)=\frac{6}{30}=\frac{1}{5}.$$

L'intersection. Un numéro est dans $A\cap B$ s'il est multiple de $3$ et de $5$, c'est-à-dire multiple de $15$. Entre $1$ et $30$, il y en a deux : $15$ et $30$. Donc $$P(A\cap B)=\frac{2}{30}=\frac{1}{15}.$$

La réunion. Par la formule de Poincaré, en réduisant au dénominateur commun $15$ : $$P(A\cup B)=\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{15}=\frac{5+3-1}{15}=\frac{7}{15}.$$

Contrôle direct. Les numéros favorables sont $3,5,6,9,10,12,15,18,20,21,24,25,27,30$ : il y en a $14$, et $\frac{14}{30}=\frac{7}{15}$.