Quatre morceaux qui recouvrent tout

1. Les quatre probabilités. La formule de Poincaré donne d'abord $$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=0,5+0,4-0,15=0,75.$$

Ensuite, $A$ se découpe en deux morceaux incompatibles : ce qui est aussi dans $B$, et ce qui ne l'est pas. Donc $P(A)=P(A\cap B)+P(A\cap \overline{B})$, d'où $$P(A\cap \overline{B})=0,5-0,15=0,35.$$ Le même découpage sur $B$ donne $$P(\overline{A}\cap B)=0,4-0,15=0,25.$$ Enfin, $\overline{A}\cap \overline{B}$ est, par les lois de Morgan, le contraire de $A\cup B$ : $$P(\overline{A}\cap \overline{B})=1-P(A\cup B)=1-0,75=0,25.$$

2. Le système complet. Les quatre événements $A\cap B$, $A\cap \overline{B}$, $\overline{A}\cap B$, $\overline{A}\cap \overline{B}$ sont deux à deux incompatibles : deux d'entre eux diffèrent toujours par la présence ou l'absence de $A$, ou par celle de $B$, et ne peuvent donc pas se produire ensemble.

Ils recouvrent $\Omega$ : quel que soit le résultat, ou bien $A$ se produit ou bien non, et de même pour $B$ — l'un des quatre cas est donc réalisé.

Contrôle par les probabilités, qui doivent totaliser $1$ : $$0,15+0,35+0,25+0,25=1.$$

3. Exactement un des deux. « Exactement un » se traduit par la réunion de deux des quatre morceaux, incompatibles entre eux : $$P((A\cap \overline{B})\cup (\overline{A}\cap B))=0,35+0,25=0,60.$$ Contrôle par un autre chemin : c'est aussi $P(A\cup B)-P(A\cap B)=0,75-0,15=0,60$.