Quatre probabilités à partir de trois

L'intersection. La formule de la réunion s'écrit $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$, d'où $$P(A\cap B)=0,45+0,50-0,70=0,25.$$

Aucun des deux. Par la loi de Morgan, $\overline{A}\cap \overline{B}=\overline{A\cup B}$, donc $$P(\overline{A}\cap \overline{B})=1-P(A\cup B)=1-0,70=0,30.$$ Ce n'est pas $\left(1-0,45\right)\left(1-0,50\right)$ : rien n'indique que $A$ et $B$ soient indépendants.

$A$ sans $B$. L'événement $A$ se décompose en deux morceaux incompatibles : $A=(A\cap B)\cup (A\cap \overline{B})$. D'où $$P(A\cap \overline{B})=P(A)-P(A\cap B)=0,45-0,25=0,20.$$

Exactement un des deux. C'est la réunion privée de l'intersection : $$P(A\cup B)-P(A\cap B)=0,70-0,25=0,45.$$ On le retrouve en additionnant les deux « exclusifs » : $P(A\cap \overline{B})+P(\overline{A}\cap B)=0,20+(0,50-0,25)=0,45$.

Contrôle. $0,25+0,45+0,30=1$ : « les deux », « exactement un » et « aucun » se partagent bien tout l'univers.

Le point à retenir. Deux outils suffisent à tout ce calcul : la formule de la réunion et la décomposition d'un événement selon un second événement et son contraire. Aucune hypothèse d'indépendance n'est nécessaire — ni permise.