Retrouver des effectifs à partir de probabilités

1. Les pièces à deux défauts. La formule de Poincaré, lue à l'envers, donne $$P(A\cap B)=P(A)+P(B)-P(A\cup B)=0,12+0,08-0,15=0,05.$$ Sur $2500$ pièces, cela représente $$0,05\times 2500=125\text{ pieˋces}.$$

Remarquons au passage que ce résultat ne pouvait pas être plus petit que $P(A)+P(B)-1$, qui est négatif ici, ni plus grand que $\min (0,12;0,08)=0,08$ : les données de l'énoncé sont donc cohérentes.

2. Aucun défaut, exactement un défaut. « Aucun défaut » est le contraire de « au moins un » : $$P(\overline{A}\cap \overline{B})=1-0,15=0,85,\text{soit }0,85\times 2500=2125\text{ pieˋces}.$$ « Exactement un » s'obtient en retirant de la réunion la partie commune : $$P(A\cup B)-P(A\cap B)=0,15-0,05=0,10,\text{soit }250\text{ pieˋces}.$$

Contrôle des effectifs : $125+250+2125=2500$. Toutes les pièces sont comptées une fois.

3. La conditionnelle. Par définition, $$P_B(A)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{0,05}{0,08}=0,625.$$

L'interprétation. Parmi les pièces qui présentent le défaut $B$, $62,5\%$ présentent aussi le défaut $A$ — alors que dans le lot entier, seules $12\%$ des pièces ont le défaut $A$. Savoir qu'une pièce a le défaut $B$ multiplie donc par plus de cinq la chance qu'elle ait aussi le défaut $A$ : les deux défauts sont loin d'être indépendants, et il y a vraisemblablement une cause commune à chercher sur la chaîne.