Traduire des phrases en ensembles

On applique le dictionnaire du cours, qui traduit la langue courante en opérations sur les ensembles.

1. « $A$ et $B$ » se traduit par l'intersection : $$A\cap B.$$

2. « $A$ mais pas $B$ » signifie que $A$ se produit et que $B$ ne se produit pas : $$A\cap \overline{B}.$$

3. « Ni $A$ ni $B$ » signifie que $A$ ne se produit pas et que $B$ ne se produit pas : $$\overline{A}\cap \overline{B}.$$ Par les lois de Morgan, c'est aussi $\overline{A\cup B}$ : le contraire de « au moins un des deux ». Les deux écritures désignent le même événement.

4. « Au moins un » se traduit par la réunion, le « ou » étant inclusif : $$A\cup B.$$

5. « Exactement un » exclut le cas où les deux se produisent. C'est donc la réunion de deux cas incompatibles : $$(A\cap \overline{B})\cup (\overline{A}\cap B).$$ On peut aussi l'écrire $(A\cup B)\cap \overline{A\cap B}$ : « au moins un, mais pas les deux ».

Le piège de la langue. Le « ou » du français courant est souvent exclusif — « fromage ou dessert » —, celui des mathématiques ne l'est jamais. C'est pourquoi « au moins un » et « exactement un » ne se traduisent pas de la même façon.