Trois ateliers, une pièce défectueuse

Exercice · niveau 3 (difficile) · mathématiques (ECT 1re année), chapitre 6 — Probabilités sur un univers fini · Probabilités totales et Bayes

Énoncé

Une chaîne assemble des pièces venant de trois ateliers : $50 %$ de $A$ , $30 %$ de $B$ , $20 %$ de $C$ . Leurs taux de pièces défectueuses sont $2 %$ , $5 %$ et $10 %$ .

1. Quelle est la probabilité qu'une pièce prélevée au hasard soit défectueuse ?

2. Elle s'avère défectueuse : de quel atelier vient-elle le plus probablement ?

Corrigé

Notons $A$ , $B$ , $C$ les événements « la pièce vient de cet atelier » et $D$ « la pièce est défectueuse ». Les trois ateliers forment un système complet d'événements : toute pièce vient d'un atelier et d'un seul, et $0, 5 + 0, 3 + 0, 2 = 1$ .

1. La formule des probabilités totales donne $P (D) = P (A) P_{A} (D) + P (B) P_{B} (D) + P (C) P_{C} (D),$ soit $P (D) = 0, 5 \times 0, 02 + 0, 3 \times 0, 05 + 0, 2 \times 0, 10 = 0, 010 + 0, 015 + 0, 020 = 0, 045,$ c'est-à-dire $4, 5 %$ de pièces défectueuses sur l'ensemble de la production.

2. On renverse le conditionnement par la formule de Bayes, dont le dénominateur est le $P (D)$ qu'on vient de calculer : $P_{D} (A) = \frac{0 , 010}{0 , 045} = \frac{2}{9} \approx 22, 2 %, P_{D} (B) = \frac{0 , 015}{0 , 045} = \frac{1}{3} \approx 33, 3 %, P_{D} (C) = \frac{0 , 020}{0 , 045} = \frac{4}{9} \approx 44, 4 %.$ Contrôle. Leur somme vaut $1$ , comme il se doit.

La pièce défectueuse vient donc le plus probablement de l'atelier $C$ , qui est pourtant le plus petit fournisseur.

Le point à retenir. Ne pas confondre $P_{A} (D)$ , le taux de défauts d'un atelier, avec $P_{D} (A)$ , la part d'un atelier parmi les pièces défectueuses. L'atelier $C$ ne fournit qu'un cinquième des pièces, mais son taux de défaut cinq fois supérieur à celui de $A$ le place en tête des causes.

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