Trois dossiers sans remise

Exercice · niveau 3 (difficile) · mathématiques (ECT 1re année), chapitre 6 — Probabilités sur un univers fini · Arbre et tirages successifs

Énoncé

Un lot de $10$ dossiers contient $3$ dossiers incomplets. On en tire trois successivement, sans remise.

Calculer la probabilité qu'aucun ne soit incomplet, puis qu'au moins un le soit.
Calculer la probabilité que les trois soient incomplets.
Calculer la probabilité que le troisième dossier tiré soit incomplet.

Corrigé

1. Aucun. Par les probabilités composées :

$P (I_{1} \cap I_{2} \cap I_{3}) = \frac{7}{10} \times \frac{6}{9} \times \frac{5}{8} = \frac{210}{720} = \frac{7}{24} \approx 0, 292.$

Au moins un : $1 - \frac{7}{24} = \frac{17}{24} \approx 0, 708$ .

2. Les trois. $\frac{3}{10} \times \frac{2}{9} \times \frac{1}{8} = \frac{6}{720} = \frac{1}{120} \approx 0, 008$ .

3. Le troisième. On applique la formule des probabilités totales au système complet formé par le nombre de dossiers incomplets parmi les deux premiers :

$P (I_{3}) = \frac{42}{90} \times \frac{3}{8} + \frac{42}{90} \times \frac{2}{8} + \frac{6}{90} \times \frac{1}{8} = \frac{126 + 84 + 6}{720} = \frac{216}{720} = \frac{3}{10} .$

Les trois termes correspondent à zéro, un et deux dossiers incomplets déjà sortis.

Ce que dit ce résultat. $P (I_{3}) = \frac{3}{10} = P (I_{1})$ : le troisième dossier a la même chance d'être incomplet que le premier. Rien ne distingue les rangs tant qu'on n'a rien observé.

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