Trois machines indépendantes

Notons $A$, $B$, $C$ les événements « la première, la deuxième, la troisième machine tombe en panne ». Ils sont mutuellement indépendants, avec $$P(A)=0,02,P(B)=0,05,P(C)=0,10,$$ donc $P(\overline{A})=0,98$, $P(\overline{B})=0,95$, $P(\overline{C})=0,90$.

1. Aucune panne, au moins une panne. L'indépendance mutuelle se conserve quand on remplace des événements par leurs contraires, donc $$P(\overline{A}\cap \overline{B}\cap \overline{C})=0,98\times 0,95\times 0,90=0,8379.$$ Par passage au contraire, $$P(\text{au moins une panne})=1-0,8379=0,1621.$$

2. Exactement une panne. Trois cas incompatibles, selon la machine en panne : $$P(A\cap \overline{B}\cap \overline{C})=0,02\times 0,95\times 0,90=0,0171,$$ $$P(\overline{A}\cap B\cap \overline{C})=0,98\times 0,05\times 0,90=0,0441,$$ $$P(\overline{A}\cap \overline{B}\cap C)=0,98\times 0,95\times 0,10=0,0931.$$ La somme vaut $$P(\text{exactement une})=0,0171+0,0441+0,0931=0,1543.$$

3. Au moins deux pannes. Plutôt que d'énumérer quatre cas, on retranche : « au moins deux » est ce qui reste de « au moins une » quand on ôte « exactement une », ces deux derniers étant incompatibles. $$P(\text{au moins deux})=0,1621-0,1543=0,0078.$$

Contrôle par le calcul direct : les trois cas à exactement deux pannes valent $0,02\times 0,05\times 0,90=0,0009$, $0,02\times 0,95\times 0,10=0,0019$ et $0,98\times 0,05\times 0,10=0,0049$, et les trois pannes $0,02\times 0,05\times 0,10=0,0001$. La somme fait bien $0,0078$.