Trois pièces tirées avec remise

Exercice d'entraînement · niveau 2 · mathématiques (ECT 1re année), chapitre 6 — Probabilités sur un univers fini · Arbre et tirages successifs

Énoncé

Dans une production, $5 %$ des pièces sont défectueuses. On prélève trois pièces au hasard, avec remise, si bien que les trois résultats sont indépendants.

Calculer la probabilité 1. qu'aucune ne soit défectueuse ; 2. qu'au moins une le soit ; 3. qu'exactement une le soit.

Corrigé

Notons $D_{k}$ l'événement « la $k$ -ième pièce est défectueuse », pour $k = 1, 2, 3$ . Le tirage se faisant avec remise, la composition du lot ne change pas d'un tirage à l'autre : les trois événements sont mutuellement indépendants, et $P (D_{k}) = 0, 05$ , donc $P (D_{k}) = 0, 95$ pour chaque $k$ .

1. Aucune défectueuse. L'indépendance mutuelle se conserve quand on remplace des événements par leurs contraires, donc la probabilité de l'intersection est le produit des probabilités : $P (D_{1} \cap D_{2} \cap D_{3}) = 0, 9 5^{3} = 0, 857375 \approx 0, 857.$

2. Au moins une défectueuse. C'est l'événement contraire du précédent : $P (au moins une) = 1 - 0, 857375 = 0, 142625 \approx 0, 143.$

Le réflexe du chapitre est bien celui-là : « au moins un » se calcule par le contraire. Le calcul direct exigerait d'additionner les cas « une », « deux » et « trois » défectueuses.

3. Exactement une défectueuse. Trois chemins de l'arbre y conduisent, selon le rang de la pièce défectueuse, et ils sont deux à deux incompatibles. Chacun a la même probabilité : $P (D_{1} \cap D_{2} \cap D_{3}) = 0, 05 \times 0, 95 \times 0, 95 = 0, 045125.$ On additionne les trois chemins : $P (exactement une) = 3 \times 0, 045125 = 0, 135375 \approx 0, 135.$

Contrôle. La probabilité d'au moins deux défectueuses vaut donc $0, 142625 - 0, 135375 = 0, 00725$ , un nombre petit et positif : cohérent.

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.