Un code à deux chiffres

L'univers. Un code est un couple de chiffres, donc un élément du produit cartésien $\{0,\dots ,9\}\times \{0,\dots ,9\}$. Son cardinal est $$\mathrm{Card}(\Omega )=10\times 10=100.$$ Il y a équiprobabilité, donc chaque probabilité est le quotient du nombre de cas favorables par $100$.

1. Deux chiffres égaux. Les codes favorables sont $00$, $11$, …, $99$ : il y en a $10$, un par valeur du chiffre répété. Donc $$P=\frac{10}{100}=0,1.$$

2. Une somme égale à $9$. Si le premier chiffre est $a$, le second est imposé : il vaut $9-a$. Encore faut-il que ce soit un chiffre, c'est-à-dire que $0\le 9-a\le 9$, ce qui donne $0\le a\le 9$ : toutes les valeurs de $a$ conviennent. Il y a donc $10$ codes favorables — $09$, $18$, $27$, …, $90$ — et $$P=\frac{10}{100}=0,1.$$

3. Au moins un sept. « Au moins un » se traite par le contraire, c'est le réflexe le plus rentable du chapitre. L'événement contraire est « aucun des deux chiffres n'est un $7$ » : chacun des deux chiffres a alors $9$ valeurs possibles, donc il y a $9\times 9=81$ codes sans aucun $7$. D'où $$P(\text{aucun }7)=\frac{81}{100}=0,81,P(\text{au moins un }7)=1-0,81=0,19.$$

Le piège à éviter. Compter « $10$ codes commençant par $7$ plus $10$ codes finissant par $7$ » donnerait $20$, donc $0,20$ : c'est faux, car le code $77$ serait compté deux fois. Poincaré le corrige : $0,1+0,1-0,01=0,19$.