Un contrôle automatique de dossiers

1. Le système complet. Notons $F$ l'événement « le dossier est frauduleux » et $S$ « le dossier est signalé ». Les deux événements $F$ et $\overline{F}$ sont incompatibles et leur réunion est $\Omega$ : $\{F,\overline{F}\}$ est donc un système complet, le plus simple qui soit.

Les données de l'énoncé se lisent alors ainsi : $$P(F)=0,08,P(\overline{F})=0,92,$$ $$P_F(S)=0,95,P_{\overline{F}}(S)=0,04.$$ Les deux dernières sont des probabilités conditionnelles : ce sont les branches du second niveau de l'arbre.

2. La probabilité d'être signalé. La formule des probabilités totales appliquée au système complet $\{F,\overline{F}\}$ donne $$P(S)=P(F)P_F(S)+P(\overline{F})P_{\overline{F}}(S).$$ Numériquement, $$P(S)=0,08\times 0,95+0,92\times 0,04=0,076+0,0368=0,1128.$$ Environ $11,3\%$ des dossiers sont signalés. C'est la somme des deux chemins de l'arbre qui aboutissent à $S$.

3. Le surplus. La proportion réelle de fraudes est de $8\%$, alors que le contrôle signale $11,28\%$ des dossiers : il en signale donc $3,28$ points de plus, soit environ $41\%$ de signalements en excès par rapport au nombre de fraudes.

L'explication tient dans les effectifs. Les $4\%$ de faux signalements portent sur les $92\%$ de dossiers sains, ce qui fait $3,68$ points ; les $5\%$ de fraudes manquées portent sur les $8\%$ de dossiers frauduleux, ce qui ne fait que $0,4$ point. Un petit taux d'erreur sur une grande population pèse plus lourd qu'un grand taux d'erreur sur une petite.