Un contrôle qui s'arrête au premier défaut

Notons $B_k$ l'événement « la $k$-ième pièce examinée est bonne » et $D_k$ « elle est défectueuse ». Le contrôleur s'arrête au premier défaut, donc l'événement $[N=k]$ s'écrit $$B_1\cap B_2\cap \cdots \cap B_{k-1}\cap D_k.$$ On le calcule par la formule des probabilités composées, en multipliant le long du chemin de l'arbre. À chaque étape, le lot perd une pièce bonne.

1. Les deux premiers cas. $$P(N=1)=P(D_1)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\approx 0,333.$$ $$P(N=2)=P(B_1)\times P_{B_1}(D_2)=\frac{4}{6}\times \frac{2}{5}=\frac{8}{30}=\frac{4}{15}\approx 0,267.$$ Après une pièce bonne retirée, il reste $5$ pièces dont toujours $2$ défectueuses : d'où le $\frac{2}{5}$.

2. Les trois suivants. $$P(N=3)=\frac{4}{6}\times \frac{3}{5}\times \frac{2}{4}=\frac{24}{120}=\frac{1}{5}=0,2.$$ $$P(N=4)=\frac{4}{6}\times \frac{3}{5}\times \frac{2}{4}\times \frac{2}{3}=\frac{2}{15}\approx 0,133.$$ $$P(N=5)=\frac{4}{6}\times \frac{3}{5}\times \frac{2}{4}\times \frac{1}{3}\times \frac{2}{2}=\frac{1}{15}\approx 0,067.$$

Pour $N=5$, les quatre premières pièces examinées sont les quatre bonnes ; il ne reste alors que des pièces défectueuses, et la cinquième en est une à coup sûr — d'où le facteur $\frac{2}{2}=1$. La valeur $N=6$ est donc impossible.

3. Le contrôle. Réduisons au dénominateur commun $15$ : $$\frac{5}{15}+\frac{4}{15}+\frac{3}{15}+\frac{2}{15}+\frac{1}{15}=\frac{15}{15}=1.$$ Les cinq événements forment bien un système complet.

Ce que le résultat montre. Les probabilités décroissent régulièrement, de $\frac{5}{15}$ à $\frac{1}{15}$ : plus le contrôleur avance, moins il est probable qu'il n'ait encore rien trouvé.