Un dossier signalé est-il frauduleux ?

Exercice d'entraînement · niveau 2 · mathématiques (ECT 1re année), chapitre 6 — Probabilités sur un univers fini · Probabilités totales et Bayes

Énoncé

Dans un organisme, $8 %$ des dossiers sont frauduleux. Un contrôle automatique signale $95 %$ des dossiers frauduleux et $4 %$ des dossiers sains.

Un dossier vient d'être signalé. Quelle est la probabilité qu'il soit réellement frauduleux ? Commenter.

Corrigé

Notons $F$ « le dossier est frauduleux » et $S$ « il est signalé ». L'énoncé donne $P (F) = 0, 08, P (F) = 0, 92, P_{F} (S) = 0, 95, P_{F} (S) = 0, 04.$ La question porte sur $P_{S} (F)$ : on renverse le conditionnement, c'est exactement le travail de la formule de Bayes.

Le dénominateur, par les probabilités totales. ${F, F}$ est un système complet, donc $P (S) = P (F) P_{F} (S) + P (F) P_{F} (S) = 0, 076 + 0, 0368 = 0, 1128.$

La formule de Bayes. $P_{S} (F) = \frac{P ( F ) P _{F} ( S )}{P ( S )} = \frac{0 , 076}{0 , 1128} \approx 0, 674.$ Un dossier signalé a donc environ $67, 4 %$ de chances d'être frauduleux. Symétriquement, $P_{S} (F) = \frac{0 , 0368}{0 , 1128} \approx 0, 326$ : un signalement sur trois porte sur un dossier parfaitement sain.

Le commentaire, et le point délicat. Le contrôle est excellent sur les fraudes — il en attrape $95 %$ — et il se trompe rarement sur les dossiers sains — $4 %$ seulement. Pourtant un tiers de ses signalements sont faux.

La raison est le déséquilibre des effectifs : $4 %$ de $92$ font $3, 68$ , tandis que $95 %$ de $8$ ne font que $7, 6$ . Les faux signalements sont peu fréquents mais ils portent sur une population onze fois plus nombreuse.

C'est la confusion à ne jamais commettre : $P_{F} (S) = 0, 95$ et $P_{S} (F) \approx 0, 67$ ne sont pas la même chose, et l'on ne passe de l'une à l'autre qu'en repassant par Bayes.

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