Un dossier tiré parmi soixante

Le tirage est « au hasard » parmi $60$ dossiers : nous sommes en équiprobabilité, et toute probabilité s'obtient comme $\frac{\text{nombre de cas favorables}}{60}$.

L'événement $A$. Les multiples de $4$ entre $1$ et $60$ sont $4,8,\dots ,60$, c'est-à-dire $4\times 1$ jusqu'à $4\times 15$ : il y en a $15$. Donc $$P(A)=\frac{15}{60}=\frac{1}{4}.$$

L'événement $B$. Les multiples de $6$ vont de $6\times 1$ à $6\times 10$ : il y en a $10$, donc $$P(B)=\frac{10}{60}=\frac{1}{6}.$$

L'intersection. Un numéro appartient à $A\cap B$ s'il est multiple de $4$ et de $6$, donc multiple de $12$ — et non de $24$, ce qui est le point délicat. Les multiples de $12$ jusqu'à $60$ sont $12,24,36,48,60$ : il y en a $5$, donc $$P(A\cap B)=\frac{5}{60}=\frac{1}{12}.$$

La réunion. $$P(A\cup B)=\frac{15}{60}+\frac{10}{60}-\frac{5}{60}=\frac{20}{60}=\frac{1}{3}.$$

Le point à retenir. En équiprobabilité, calculer une probabilité, c'est compter — et le seul comptage délicat est celui de l'intersection : « multiple de $4$ et de $6$ » signifie multiple de leur plus petit multiple commun, $12$, pas de leur produit.