Un tableau croisé de clients

Contrôle préalable. $140+170+60+130=500$ : chaque client est compté une fois et une seule.

1. Les trois probabilités. L'univers étant équiprobable, chaque probabilité est un quotient de cardinaux. $$P(L)=\frac{140+170}{500}=\frac{310}{500}=0,62,$$ $$P(F)=\frac{170+130}{500}=\frac{300}{500}=0,60,$$ $$P(L\cap F)=\frac{170}{500}=0,34.$$

2. La réunion, par deux chemins. Directement, en additionnant les trois cases concernées sans compter deux fois celle qui est commune : $$P(L\cup F)=\frac{140+170+130}{500}=\frac{440}{500}=0,88.$$ Par Poincaré : $$P(L\cup F)=0,62+0,60-0,34=0,88.$$ Les deux coïncident.

3. Les deux conditionnelles. $$P_L(F)=\frac{P(L\cap F)}{P(L)}=\frac{0,34}{0,62}\approx 0,548,$$ $$P_F(L)=\frac{P(L\cap F)}{P(F)}=\frac{0,34}{0,60}\approx 0,567.$$

Ce que chacune signifie. $P_L(F)\approx 54,8\%$ est la proportion de clients fidèles parmi ceux qui achètent en ligne : on la lit sur la première ligne du tableau, $\frac{170}{310}$. Tandis que $P_F(L)\approx 56,7\%$ est la proportion d'acheteurs en ligne parmi les clients fidèles : on la lit sur la seconde colonne, $\frac{170}{300}$.

Le sens du conditionnement change la population de référence, donc le dénominateur. Les deux nombres sont ici proches, mais rien ne l'imposait.