Un tirage parmi cinquante

Probabilités sur un univers fini · Équiprobabilité · niveau 1 (application)

Énoncé

Un lot de $50$ pièces contient $8$ pièces défectueuses, dont $3$ proviennent de l'atelier $X$ , lequel a fourni $15$ pièces en tout. On tire une pièce au hasard.

Calculer la probabilité qu'elle soit défectueuse ; qu'elle vienne de $X$ ; qu'elle vienne de $X$ et soit défectueuse ; qu'elle vienne de $X$ ou soit défectueuse.

Corrigé

Notons $D$ « la pièce est défectueuse » et $X$ « la pièce vient de l'atelier $X$ ». Toutes les pièces ont la même chance d'être tirées : il y a équiprobabilité, donc chaque probabilité est un quotient de cardinaux, avec $Card (Ω) = 50$ .

Défectueuse. $P (D) = \frac{8}{50} = 0, 16.$

Venant de $X$ . $P (X) = \frac{15}{50} = 0, 30.$

Les deux à la fois. L'énoncé donne directement l'effectif : $3$ pièces sont défectueuses et viennent de $X$ . $P (D \cap X) = \frac{3}{50} = 0, 06.$

L'une ou l'autre. On applique la formule de Poincaré : $P (D \cup X) = P (D) + P (X) - P (D \cap X) = 0, 16 + 0, 30 - 0, 06 = 0, 40.$

Contrôle par les effectifs. Les pièces concernées sont les $8$ défectueuses, plus les pièces de $X$ qui ne sont pas défectueuses, soit $15 - 3 = 12$ : au total $8 + 12 = 20$ pièces, et $\frac{20}{50} = 0, 40$ . Les deux chemins concordent.

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