Vérifier l'indépendance, ne pas la supposer

Contrôle préalable. $84+36+196+84=400$.

1. Le test d'indépendance. On calcule les trois probabilités en jeu : $$P(R)=\frac{84+36}{400}=\frac{120}{400}=0,30,$$ $$P(X)=\frac{84+196}{400}=\frac{280}{400}=0,70,$$ $$P(R\cap X)=\frac{84}{400}=0,21.$$ La définition demande de comparer $P(R\cap X)$ au produit $P(R)P(X)$ : $$P(R)P(X)=0,30\times 0,70=0,21=P(R\cap X).$$ Les deux nombres sont égaux : $R$ et $X$ sont indépendants.

2. La lecture conditionnelle. $$P_X(R)=\frac{0,21}{0,70}=0,30,P_{\overline{X}}(R)=\frac{36/400}{120/400}=\frac{36}{120}=0,30.$$ Les deux valent $0,30$, c'est-à-dire $P(R)$ : apprendre que le candidat a de l'expérience ne change rien à sa chance d'être retenu. C'est exactement la lecture conditionnelle de l'indépendance donnée par le cours.

L'interprétation est nette, et un peu dérangeante : dans cette entreprise, l'expérience ne pèse pas sur le résultat du recrutement.

3. Avec $90$ au lieu de $84$. Les totaux de colonnes restant $280$ et $120$, la case « écartée, avec expérience » deviendrait $190$, et pour garder $400$ candidatures la case « retenue, sans expérience » deviendrait $30$. Alors $$P(R)=\frac{90+30}{400}=0,30,P(X)=0,70,P(R\cap X)=\frac{90}{400}=0,225.$$ Or $P(R)P(X)=0,21\ne 0,225$ : l'indépendance disparaît. On aurait $P_X(R)=\frac{0,225}{0,70}\approx 0,321$ contre $P_{\overline{X}}(R)=\frac{30}{120}=0,25$ : l'expérience augmenterait alors la chance d'être retenu.

Ce qu'il faut retenir. L'indépendance ne se devine pas sur l'allure d'un tableau ; elle se vérifie par l'égalité $P(A\cap B)=P(A)P(B)$, et six candidatures déplacées suffisent à la détruire.