Centrer et réduire

Centrer et réduire

Variables aléatoires finies · Variable centrée réduite · niveau 3 (difficile)

Énoncé

On reprend $X$ de valeurs $10$ , $20$ , $30$ avec les probabilités $0, 2$ , $0, 5$ , $0, 3$ . Déterminer la loi de $X^{*}$ , puis vérifier par le calcul que $E (X^{*}) = 0$ et $V (X^{*}) = 1$ .

Corrigé

La variable. $E (X) = 21$ et $σ (X) = 7$ , donc $X^{*} = \frac{X - 21}{7}$ .

Ses valeurs. $\frac{10 - 21}{7} = - \frac{11}{7}$ , $\frac{20 - 21}{7} = - \frac{1}{7}$ et $\frac{30 - 21}{7} = \frac{9}{7}$ , avec les probabilités inchangées $0, 2$ , $0, 5$ , $0, 3$ .

L'espérance.

$E (X^{*}) = \frac{1}{7} (- 11 \times 0, 2 - 1 \times 0, 5 + 9 \times 0, 3) = \frac{- 2 , 2 - 0 , 5 + 2 , 7}{7} = 0.$

La variance. Par transfert,

$E ((X^{*})^{2}) = \frac{121 \times 0 , 2 + 1 \times 0 , 5 + 81 \times 0 , 3}{49} = \frac{24 , 2 + 0 , 5 + 24 , 3}{49} = \frac{49}{49} = 1,$

et $V (X^{*}) = 1 - 0^{2} = 1$ .

Sans calcul. On pouvait conclure directement : $X^{*} = a X + b$ avec $a = \frac{1}{7}$ , donc $V (X^{*}) = \frac{1}{49} \times 49 = 1$ . Le calcul ci-dessus n'est qu'une vérification.

Énoncé

Corrigé

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