Choisir entre deux placements

Variables aléatoires finies · Variance et transformation affine · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Le placement $A$ rapporte $2$ ou $42$ (en centaines d'euros) avec la même probabilité. Le placement $B$ rapporte $20$ ou $24$ , également avec la même probabilité. Comparer leurs espérances, leurs écarts-types, et conclure.

Corrigé

Les espérances. $E (A) = \frac{2 + 42}{2} = 22$ et $E (B) = \frac{20 + 24}{2} = 22$ . Elles sont égales.

Les variances. Pour une variable à deux valeurs équiprobables, l'écart à la moyenne est la moitié de l'amplitude :

$V (A) = 0, 5 \times 2 0^{2} + 0, 5 \times 2 0^{2} = 400, V (B) = 0, 5 \times 2^{2} + 0, 5 \times 2^{2} = 4.$

Donc $σ (A) = 20$ et $σ (B) = 2$ .

La conclusion. À espérance égale, $B$ est dix fois moins dispersé. Un gestionnaire qui doit tenir un budget choisira $B$ ; $A$ n'a d'intérêt que si l'on peut absorber un rendement de $2$ une fois sur deux.

Le contrôle par Kœnig-Huygens. $E (A^{2}) = 0, 5 \times 4 + 0, 5 \times 1764 = 884$ , et $884 - 2 2^{2} = 884 - 484 = 400$ .

Ce que l'exercice montre. L'espérance ne suffit jamais à décider : elle ne distingue pas ces deux placements, l'écart-type oui.

Énoncé

Corrigé

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