Combien produire face à une demande incertaine

Le nombre de pièces vendues est $\min (X,q)$ : on ne vend jamais plus que la demande, ni plus que ce que l'on a produit. Le coût $5q$, lui, est payé quoi qu'il arrive.

1. Pour $q=200$. Le théorème de transfert s'applique à $g(x)=\min (x,200)$, dont les valeurs sont $$g(100)=100,g(200)=200,g(300)=200.$$ Donc $$E(\min (X,200))=100\times 0,3+200\times 0,5+200\times 0,2=30+100+40=170.$$ Par linéarité de l'espérance, $$E(B(200))=8\times 170-5\times 200=1360-1000=360\text{ euros}.$$

2. Les deux autres productions.

Pour $q=100$ : $\min (X,100)=100$ dans les trois cas, donc son espérance vaut $100$ et $$E(B(100))=800-500=300\text{ euros}.$$

Pour $q=300$ : $\min (X,300)$ vaut $100$, $200$, $300$, donc $$E(\min (X,300))=30+100+60=190,$$ $$E(B(300))=8\times 190-1500=1520-1500=20\text{ euros}.$$

3. Le choix. Les trois espérances sont $300$, $360$ et $20$ euros : il faut produire $200$ pièces.

Pourquoi produire plus ne rapporte pas toujours plus. Passer de $200$ à $300$ pièces coûte $500$ euros de production supplémentaire, avec certitude. Mais les $100$ pièces ajoutées ne se vendent que si la demande atteint $300$, ce qui n'arrive qu'avec la probabilité $0,2$ : leur recette espérée n'est que $0,2\times 800=160$ euros. La dépense est certaine, la recette ne l'est pas — et le solde, $160-500=-340$ euros, est exactement la chute observée entre $360$ et $20$.