Comparer deux performances

Comparer $60$ à $90$ n'a aucun sens : les deux réseaux n'ont ni la même moyenne ni la même dispersion. On ramène donc chaque performance à sa variable centrée réduite, $\frac{x-E}{\sigma }$, qui compte en nombre d'écarts-types.

Le réseau Nord. $$E(X)=40\times 0,25+50\times 0,5+60\times 0,25=10+25+15=50,$$ $$E(X^2)=1600\times 0,25+2500\times 0,5+3600\times 0,25=400+1250+900=2550,$$ d'où $V(X)=2550-50^2=50$ et $\sigma (X)=\sqrt{50}\approx 7,07$.

Le réseau Sud. $$E(Y)=\frac{30+60+90}{3}=60,E(Y^2)=\frac{900+3600+8100}{3}=4200,$$ d'où $V(Y)=4200-60^2=600$ et $\sigma (Y)=\sqrt{600}\approx 24,49$.

Les deux performances, centrées et réduites. $$\frac{60-50}{\sqrt{50}}=\frac{10}{7,07}\approx 1,41,\frac{90-60}{\sqrt{600}}=\frac{30}{24,49}\approx 1,22.$$

Le vendeur $A$ se situe à environ $1,41$ écart-type au-dessus de la moyenne de son réseau, le vendeur $B$ à $1,22$ seulement. C'est donc $A$ qui réalise la meilleure performance relative, bien qu'il vende $30$ unités de moins en valeur brute.

Le point à retenir. Centrer et réduire, c'est effacer l'unité et l'échelle : la variable obtenue a toujours une espérance nulle et une variance égale à $1$, quel que soit le réseau. C'est ce qui rend deux situations incomparables en brut comparables en relatif.