Construire et lire une fonction de répartition

Exercice d'entraînement · niveau 2 · mathématiques (ECT 1re année), chapitre 7 — Variables aléatoires finies · Fonction de répartition

Énoncé

Le nombre $X$ de retards de livraison en une semaine suit la loi suivante.

$x_{i}$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$P (X = x_{i})$	$0, 35$	$0, 30$	$0, 20$	$0, 10$	$0, 05$

1. Écrire $F_{X} (x)$ pour tout réel $x$ . 2. Calculer $P (X \geq 2)$ , $P (1 < X \leq 3)$ et $P (X < 3)$ . 3. Calculer $E (X)$ .

Corrigé

1. La fonction de répartition. La somme des probabilités vaut $0, 35 + 0, 30 + 0, 20 + 0, 10 + 0, 05 = 1$ : c'est bien une loi.

Par définition $F_{X} (x) = P (X \leq x)$ : on cumule les probabilités de gauche à droite. $F_{X} (x) = ⎩ ⎨ ⎧ 0 0, 35 0, 65 0, 85 0, 95 1 si x < 0, si 0 \leq x < 1, si 1 \leq x < 2, si 2 \leq x < 3, si 3 \leq x < 4, si x \geq 4.$ Elle est croissante, constante par morceaux, et saute de $P (X = x_{i})$ en chaque valeur.

2. Les trois probabilités.

$P (X \geq 2)$ est le contraire de $P (X \leq 1) = F_{X} (1)$ : $P (X \geq 2) = 1 - 0, 65 = 0, 35.$

$P (1 < X \leq 3) = F_{X} (3) - F_{X} (1) = 0, 95 - 0, 65 = 0, 30$ . On retrouve $P (X = 2) + P (X = 3) = 0, 20 + 0, 10$ .

$P (X < 3)$ n'est pas $F_{X} (3)$ : l'inégalité y est stricte. Sur une variable à valeurs entières, $P (X < 3) = P (X \leq 2) = F_{X} (2) = 0, 85$ .

Le point délicat est là. $F_{X}$ est définie avec un $\leq$ large. Un « $\leq$ » changé en « $<$ » retire une valeur entière de probabilité : ici $F_{X} (3) = 0, 95$ contre $P (X < 3) = 0, 85$ , soit exactement $P (X = 3) = 0, 10$ d'écart.

3. L'espérance. $E (X) = 0 \times 0, 35 + 1 \times 0, 30 + 2 \times 0, 20 + 3 \times 0, 10 + 4 \times 0, 05 = 0, 30 + 0, 40 + 0, 30 + 0, 20 = 1, 20.$

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