Deux boutiques et une recette totale

Exercice d'entraînement · niveau 2 · mathématiques (ECT 1re année), chapitre 7 — Variables aléatoires finies · Espérance et théorème de transfert

Énoncé

Une enseigne a deux boutiques. Un jour donné, la première réalise $X$ ventes, la seconde $Y$ ventes : $P (X = 2) = 0, 3, P (X = 3) = 0, 5, P (X = 4) = 0, 2,$ $P (Y = 1) = 0, 4, P (Y = 2) = 0, 4, P (Y = 3) = 0, 2.$

1. Calculer $E (X)$ et $E (Y)$ . 2. En déduire $E (X + Y)$ et la moyenne par boutique. 3. Les marges unitaires étant $40$ et $60$ euros, calculer la marge moyenne totale.

Corrigé

Contrôle préalable : chacune des deux lois totalise $1$ .

1. Les deux espérances. $E (X) = 2 \times 0, 3 + 3 \times 0, 5 + 4 \times 0, 2 = 0, 6 + 1, 5 + 0, 8 = 2, 9.$ $E (Y) = 1 \times 0, 4 + 2 \times 0, 4 + 3 \times 0, 2 = 0, 4 + 0, 8 + 0, 6 = 1, 8.$

2. La somme. Le théorème de linéarité de l'espérance s'applique à deux variables définies sur le même univers, sans aucune hypothèse supplémentaire : $E (X + Y) = E (X) + E (Y) = 2, 9 + 1, 8 = 4, 7 ventes .$ Le nombre moyen de ventes par boutique est donc $E (\frac{X + Y}{2}) = \frac{1}{2} E (X + Y) = 2, 35.$

Ce qu'il faut remarquer. On n'a pas eu besoin de connaître la loi de $X + Y$ — qui exigerait de savoir comment les deux boutiques se comportent ensemble, et donc une hypothèse d'indépendance. La linéarité de l'espérance s'en passe : c'est ce qui la rend si commode.

3. La marge totale. La marge est $M = 40 X + 60 Y$ , combinaison linéaire des deux variables. Par linéarité, $E (M) = 40 E (X) + 60 E (Y) = 40 \times 2, 9 + 60 \times 1, 8$ $= 116 + 108 = 224 euros .$

La seconde boutique vend moins mais rapporte presque autant : $108$ euros contre $116$ . C'est la marge unitaire, une fois et demie plus élevée, qui compense un nombre de ventes plus faible.

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.