Deux dossiers tirés sans remise

Variables aléatoires finies · Loi d'une variable aléatoire · niveau 2

Énoncé

Un lot de $10$ dossiers contient $3$ dossiers incomplets. On en tire deux successivement sans remise et l'on note $X$ le nombre de dossiers incomplets obtenus. Déterminer la loi de $X$ , puis $E (X)$ , $V (X)$ et $σ (X)$ .

Corrigé

La loi. L'arbre du chapitre 6 donne

$P (X = 0) = \frac{7}{10} \times \frac{6}{9} = \frac{7}{15}, P (X = 2) = \frac{3}{10} \times \frac{2}{9} = \frac{1}{15},$

et $P (X = 1) = 1 - \frac{7}{15} - \frac{1}{15} = \frac{7}{15}$ .

L'espérance. $E (X) = 0 \times \frac{7}{15} + 1 \times \frac{7}{15} + 2 \times \frac{1}{15} = \frac{9}{15} = \frac{3}{5} = 0, 6$ .

La variance. Par transfert, $E (X^{2}) = \frac{7}{15} + 4 \times \frac{1}{15} = \frac{11}{15}$ , donc

$V (X) = \frac{11}{15} - (\frac{3}{5})^{2} = \frac{55}{75} - \frac{27}{75} = \frac{28}{75} \approx 0, 373,$

et $σ (X) \approx 0, 611$ .

Un contrôle de bon sens. Chaque dossier tiré a une chance sur $\frac{10}{3}$ d'être incomplet, et il y en a deux : on attend $2 \times 0, 3 = 0, 6$ dossier incomplet en moyenne. C'est exactement $E (X)$ .

Énoncé

Corrigé

Exercices semblables