Du chiffre d'affaires au résultat net

Contrôle préalable : $0,2+0,3+0,3+0,2=1$.

1. Les caractéristiques de $X$. $$E(X)=80\times 0,2+100\times 0,3+120\times 0,3+150\times 0,2$$ $$=16+30+36+30=112.$$ Par transfert avec $g(x)=x^2$, $$E(X^2)=6400\times 0,2+10000\times 0,3+14400\times 0,3+22500\times 0,2$$ $$=1280+3000+4320+4500=13100.$$ Kœnig-Huygens donne $$V(X)=13100-112^2=13100-12544=556,$$ donc $\sigma (X)=\sqrt{556}\approx 23,58$.

2. Le résultat net. Développons : $R=0,75X-45$, transformation affine avec $a=0,75$ et $b=-45$. $$E(R)=0,75\times 112-45=84-45=39\text{ milliers d’euros}.$$ $$V(R)=0,75^2\times 556=0,5625\times 556=312,75.$$ $$\sigma (R)=|0,75|\times 23,58\approx 17,68.$$

Remarquons que les charges fixes de $60$ n'interviennent pas dans la variance : elles décalent le résultat sans en modifier la dispersion. Seul le taux d'imposition, qui multiplie, réduit le risque — d'un facteur $0,75$ sur l'écart-type.

3. La perte est impossible. Le résultat est négatif si et seulement si $X<60$. Or la plus petite valeur prise par $X$ est $80$, donc $$R\ge 0,75\times (80-60)=15>0.$$ L'agence gagne au minimum $15$ milliers d'euros, quel que soit le mois.

Attention : l'espérance seule ne permettait pas de conclure. $E(R)=39$ est une moyenne, et une moyenne positive n'interdit nullement des valeurs négatives. C'est l'examen des valeurs prises qui répond.