Écrire une fonction de répartition

1. La fonction de répartition. Par définition, $F_X(x)=P(X\le x)$ : on cumule les probabilités de gauche à droite, et la fonction reste constante entre deux valeurs prises par $X$. $$F_X(x)=\{\begin{array}{ll}0& \text{si }x<1,\\ 0,3& \text{si }1\le x<2,\\ 0,8& \text{si }2\le x<5,\\ 1& \text{si }x\ge 5.\end{array}$$ Elle vaut $0$ avant la plus petite valeur, $1$ à partir de la plus grande, et elle saute de $P(X=x_i)$ en chaque valeur : $0,3$ en $1$, $0,5$ en $2$, $0,2$ en $5$.

2. Trois valeurs. $$F_X(0)=0,F_X(2)=0,8,F_X(4)=0,8.$$ $F_X(2)=0,8$ parce que le $\le$ est large : la valeur $2$ est comptée. Et $F_X(4)=F_X(2)$ parce qu'aucune valeur de $X$ ne se trouve entre $2$ et $4$ : la fonction est constante sur cet intervalle.

3. La probabilité $P(X>2)$. L'événement $[X>2]$ est le contraire de $[X\le 2]$, donc $$P(X>2)=1-F_X(2)=1-0,8=0,2.$$ Contrôle direct : la seule valeur strictement supérieure à $2$ est $5$, de probabilité $0,2$.

Attention à ne pas confondre avec $P(X\ge 2)=1-F_X(1)=0,7$ : le passage du « $>$ » au « $\ge$ » ajoute $P(X=2)=0,5$.