Écrire une fonction de répartition

Exercice supplémentaire · niveau 1 (application) · mathématiques (ECT 1re année), chapitre 7 — Variables aléatoires finies · Fonction de répartition

Énoncé

Une variable aléatoire $X$ suit la loi suivante.

$x_{i}$	$1$	$2$	$5$
$P (X = x_{i})$	$0, 3$	$0, 5$	$0, 2$

1. Écrire $F_{X} (x)$ pour tout réel $x$ . 2. Calculer $F_{X} (0)$ , $F_{X} (2)$ et $F_{X} (4)$ . 3. Calculer $P (X > 2)$ .

Corrigé

1. La fonction de répartition. Par définition, $F_{X} (x) = P (X \leq x)$ : on cumule les probabilités de gauche à droite, et la fonction reste constante entre deux valeurs prises par $X$ . $F_{X} (x) = ⎩ ⎨ ⎧ 0 0, 3 0, 8 1 si x < 1, si 1 \leq x < 2, si 2 \leq x < 5, si x \geq 5.$ Elle vaut $0$ avant la plus petite valeur, $1$ à partir de la plus grande, et elle saute de $P (X = x_{i})$ en chaque valeur : $0, 3$ en $1$ , $0, 5$ en $2$ , $0, 2$ en $5$ .

2. Trois valeurs. $F_{X} (0) = 0, F_{X} (2) = 0, 8, F_{X} (4) = 0, 8.$ $F_{X} (2) = 0, 8$ parce que le $\leq$ est large : la valeur $2$ est comptée. Et $F_{X} (4) = F_{X} (2)$ parce qu'aucune valeur de $X$ ne se trouve entre $2$ et $4$ : la fonction est constante sur cet intervalle.

3. La probabilité $P (X > 2)$ . L'événement $[X > 2]$ est le contraire de $[X \leq 2]$ , donc $P (X > 2) = 1 - F_{X} (2) = 1 - 0, 8 = 0, 2.$ Contrôle direct : la seule valeur strictement supérieure à $2$ est $5$ , de probabilité $0, 2$ .

Attention à ne pas confondre avec $P (X \geq 2) = 1 - F_{X} (1) = 0, 7$ : le passage du « $>$ » au « $\geq$ » ajoute $P (X = 2) = 0, 5$ .

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.