Espérance d'un gain

Exercice supplémentaire · niveau 1 (application) · mathématiques (ECT 1re année), chapitre 7 — Variables aléatoires finies · Espérance

Énoncé

Un commercial touche une prime $X$ , en euros, selon la loi suivante.

$x_{i}$	$0$	$200$	$500$	$1000$
$P (X = x_{i})$	$0, 25$	$0, 40$	$0, 25$	$0, 10$

1. Vérifier qu'il s'agit d'une loi, puis calculer $E (X)$ . 2. Calculer $P (X \geq 500)$ . 3. L'employeur budgète $400$ euros par commercial. Est-ce suffisant en moyenne ?

Corrigé

1. Vérification et espérance. La somme des probabilités vaut $0, 25 + 0, 40 + 0, 25 + 0, 10 = 1$ : c'est bien une loi. C'est le premier contrôle à faire, et il détecte la plupart des erreurs de lecture d'énoncé. $E (X) = 0 \times 0, 25 + 200 \times 0, 40 + 500 \times 0, 25 + 1000 \times 0, 10$ $= 0 + 80 + 125 + 100 = 305 euros .$

2. La probabilité d'une prime d'au moins $500$ euros. L'événement $[X \geq 500]$ réunit deux valeurs, en des cas incompatibles : $P (X \geq 500) = P (X = 500) + P (X = 1000) = 0, 25 + 0, 10 = 0, 35.$ Un commercial sur trois environ touche au moins $500$ euros.

3. Le budget. La prime moyenne est de $305$ euros, donc un budget de $400$ euros par commercial est suffisant en moyenne : il laisse même une marge de $95$ euros par personne.

Une précaution. « Suffisant en moyenne » ne veut pas dire « suffisant toujours » : un commercial sur dix touche $1000$ euros, soit deux fois et demie le budget prévu. Sur un petit effectif, l'employeur peut donc dépasser son enveloppe ; c'est sur un grand nombre de commerciaux que la moyenne joue.

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