Espérance et variance à partir d'un tableau

Exercice · niveau 1 (application) · mathématiques (ECT 1re année), chapitre 7 — Variables aléatoires finies · Fonction de répartition

Énoncé

Le nombre $X$ de réclamations reçues en une journée suit la loi suivante.

$x_{i}$	$0$	$1$	$2$	$3$
$P (X = x_{i})$	$0, 4$	$0, 3$	$0, 2$	$0, 1$

Vérifier que c'est bien une loi, puis calculer $E (X)$ , $E (X^{2})$ , $V (X)$ et $σ (X)$ .

Corrigé

C'est bien une loi. $0, 4 + 0, 3 + 0, 2 + 0, 1 = 1$ , et toutes les probabilités sont positives.

L'espérance. $E (X) = 0 \times 0, 4 + 1 \times 0, 3 + 2 \times 0, 2 + 3 \times 0, 1 = 0 + 0, 3 + 0, 4 + 0, 3 = 1$ .

Le moment d'ordre deux. Par transfert, $E (X^{2}) = 0 + 1 \times 0, 3 + 4 \times 0, 2 + 9 \times 0, 1 = 0, 3 + 0, 8 + 0, 9 = 2$ .

La variance. Kœnig-Huygens donne $V (X) = 2 - 1^{2} = 1$ , donc $σ (X) = 1$ .

Lecture. Le service reçoit une réclamation par jour en moyenne, avec un écart-type d'une réclamation : la dispersion est du même ordre que la moyenne, ce qui est beaucoup.

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