Espérance, variance, écart-type

Exercice supplémentaire · niveau 1 (application) · mathématiques (ECT 1re année), chapitre 7 — Variables aléatoires finies · Variance et écart-type

Énoncé

Le nombre $X$ de pannes d'une machine en un mois suit la loi suivante.

$x_{i}$	$0$	$1$	$2$	$3$
$P (X = x_{i})$	$0, 5$	$0, 3$	$0, 15$	$0, 05$

Calculer $E (X)$ , $E (X^{2})$ , $V (X)$ et $σ (X)$ .

Corrigé

Contrôle préalable : $0, 5 + 0, 3 + 0, 15 + 0, 05 = 1$ . C'est bien une loi.

L'espérance. $E (X) = 0 \times 0, 5 + 1 \times 0, 3 + 2 \times 0, 15 + 3 \times 0, 05$ $= 0 + 0, 3 + 0, 3 + 0, 15 = 0, 75 panne par mois .$

Le moment d'ordre deux, par le théorème de transfert avec $g (x) = x^{2}$ : les valeurs deviennent $0$ , $1$ , $4$ , $9$ et les probabilités ne changent pas. $E (X^{2}) = 0 \times 0, 5 + 1 \times 0, 3 + 4 \times 0, 15 + 9 \times 0, 05$ $= 0 + 0, 3 + 0, 6 + 0, 45 = 1, 35.$

La variance, par la formule de Kœnig-Huygens : $V (X) = E (X^{2}) - (E (X))^{2} = 1, 35 - 0, 7 5^{2} = 1, 35 - 0, 5625 = 0, 7875.$

L'écart-type. $σ (X) = 0, 7875 \approx 0, 887 panne .$

Deux remarques. D'abord, on n'a jamais calculé la variance par sa définition : c'est plus court par Kœnig-Huygens, et cela évite de manipuler des écarts à la moyenne. Ensuite, seul l'écart-type se lit dans l'unité de $X$ : $V (X)$ s'exprimerait en « pannes au carré », ce qui ne veut rien dire.

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