Espérance, variance, écart-type

Contrôle préalable : $0,5+0,3+0,15+0,05=1$. C'est bien une loi.

L'espérance. $$E(X)=0\times 0,5+1\times 0,3+2\times 0,15+3\times 0,05$$ $$=0+0,3+0,3+0,15=0,75\text{ panne par mois}.$$

Le moment d'ordre deux, par le théorème de transfert avec $g(x)=x^2$ : les valeurs deviennent $0$, $1$, $4$, $9$ et les probabilités ne changent pas. $$E(X^2)=0\times 0,5+1\times 0,3+4\times 0,15+9\times 0,05$$ $$=0+0,3+0,6+0,45=1,35.$$

La variance, par la formule de Kœnig-Huygens : $$V(X)=E(X^2)-(E(X){)}^2=1,35-0,75^2=1,35-0,5625=0,7875.$$

L'écart-type. $$\sigma (X)=\sqrt{0,7875}\approx 0,887\text{ panne}.$$

Deux remarques. D'abord, on n'a jamais calculé la variance par sa définition : c'est plus court par Kœnig-Huygens, et cela évite de manipuler des écarts à la moyenne. Ensuite, seul l'écart-type se lit dans l'unité de $X$ : $V(X)$ s'exprimerait en « pannes au carré », ce qui ne veut rien dire.