Fixe ou variable ?

1. L'espérance : $$E(X)=2\times 0,2+3\times 0,3+4\times 0,3+5\times 0,2=0,4+0,9+1,2+1=3,5.$$ Par transfert, $$E(X^2)=4\times 0,2+9\times 0,3+16\times 0,3+25\times 0,2=0,8+2,7+4,8+5=13,3,$$ puis, par Kœnig-Huygens, $$V(X)=13,3-3,5^2=13,3-12,25=1,05,\sigma (X)=\sqrt{1,05}\approx 1,02.$$

2. Pour une transformation affine $Y=aX+b$ avec $a=300$ et $b=600$ : $$E(Y)=300E(X)+600=300\times 3,5+600=1650\text{ euros},$$ $$V(Y)=300^{2}V(X)=90000\times 1,05=94500,\sigma (Y)=300\sigma (X)\approx 307\text{ euros}.$$ Le $+600$ ne change pas la dispersion : décaler toutes les valeurs ne les écarte pas les unes des autres.

3. Le salaire fixe rapporte $1800$ euros à coup sûr, contre $1650$ euros en moyenne pour la part variable, avec en plus une dispersion d'environ $307$ euros. Le fixe l'emporte donc sur les deux critères : espérance plus élevée et risque nul. Il faut conseiller le fixe.

Le point à retenir. Dans $V(aX+b)=a^{2}V(X)$, le $b$ disparaît et le $a$ est élevé au carré ; c'est pourquoi l'écart-type, lui, est simplement multiplié par $|a|$. Comparer deux rémunérations, c'est comparer d'abord les espérances, puis les écarts-types — et ce n'est que lorsque les deux critères se contredisent que le choix devient une question de goût du risque.