Fixe ou variable ?

Exercice · niveau 2 · mathématiques (ECT 1re année), chapitre 7 — Variables aléatoires finies · Variance et transformation affine

Énoncé

Un commercial choisit entre un salaire fixe de $1800$ euros et une rémunération $Y = 300 X + 600$ euros, où $X$ , le nombre de contrats du mois, vaut $2$ , $3$ , $4$ ou $5$ avec les probabilités $0, 2$ ; $0, 3$ ; $0, 3$ ; $0, 2$ .

1. Calculer $E (X)$ , $V (X)$ et $σ (X)$ .

2. En déduire $E (Y)$ , $V (Y)$ et $σ (Y)$ .

3. Que conseiller ?

Corrigé

1. L'espérance : $E (X) = 2 \times 0, 2 + 3 \times 0, 3 + 4 \times 0, 3 + 5 \times 0, 2 = 0, 4 + 0, 9 + 1, 2 + 1 = 3, 5.$ Par transfert, $E (X^{2}) = 4 \times 0, 2 + 9 \times 0, 3 + 16 \times 0, 3 + 25 \times 0, 2 = 0, 8 + 2, 7 + 4, 8 + 5 = 13, 3,$ puis, par Kœnig-Huygens, $V (X) = 13, 3 - 3, 5^{2} = 13, 3 - 12, 25 = 1, 05, σ (X) = 1, 05 \approx 1, 02.$

2. Pour une transformation affine $Y = a X + b$ avec $a = 300$ et $b = 600$ : $E (Y) = 300 E (X) + 600 = 300 \times 3, 5 + 600 = 1650 euros,$ $V (Y) = 30 0^{2} V (X) = 90000 \times 1, 05 = 94500, σ (Y) = 300 σ (X) \approx 307 euros .$ Le $+ 600$ ne change pas la dispersion : décaler toutes les valeurs ne les écarte pas les unes des autres.

3. Le salaire fixe rapporte $1800$ euros à coup sûr, contre $1650$ euros en moyenne pour la part variable, avec en plus une dispersion d'environ $307$ euros. Le fixe l'emporte donc sur les deux critères : espérance plus élevée et risque nul. Il faut conseiller le fixe.

Le point à retenir. Dans $V (a X + b) = a^{2} V (X)$ , le $b$ disparaît et le $a$ est élevé au carré ; c'est pourquoi l'écart-type, lui, est simplement multiplié par $∣ a ∣$ . Comparer deux rémunérations, c'est comparer d'abord les espérances, puis les écarts-types — et ce n'est que lorsque les deux critères se contredisent que le choix devient une question de goût du risque.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.