Fonction de répartition

Exercice · niveau 1 (application) · mathématiques (ECT 1re année), chapitre 7 — Variables aléatoires finies · Fonction de répartition

Énoncé

Le nombre $X$ de réclamations reçues en une journée suit la loi suivante.

$x_{i}$	$0$	$1$	$2$	$3$
$P (X = x_{i})$	$0, 4$	$0, 3$	$0, 2$	$0, 1$

Écrire $F_{X} (x)$ pour tout réel $x$ , puis calculer $P (X \geq 1)$ et $P (1 \leq X \leq 2)$ .

Corrigé

La fonction de répartition.

$F_{X} (x) = ⎩ ⎨ ⎧ 0 0, 4 0, 7 0, 9 1 si x < 0, si 0 \leq x < 1, si 1 \leq x < 2, si 2 \leq x < 3, si x \geq 3.$

Au moins une réclamation. $P (X \geq 1) = 1 - P (X = 0) = 1 - 0, 4 = 0, 6$ , que l'on peut aussi écrire $1 - F_{X} (0)$ .

Entre une et deux. $P (1 \leq X \leq 2) = F_{X} (2) - F_{X} (0) = 0, 9 - 0, 4 = 0, 5$ , ce que confirme $P (X = 1) + P (X = 2) = 0, 3 + 0, 2 = 0, 5$ .

Le piège. $P (X \geq 1)$ n'est pas $1 - F_{X} (1) = 0, 3$ : cette dernière quantité est $P (X > 1)$ . Sur une variable à valeurs entières, il faut reculer d'un cran.

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