L'espérance d'un inverse

Contrôle préalable : $0,2+0,3+0,4+0,1=1$.

1. L'espérance de $X$. $$E(X)=1\times 0,2+2\times 0,3+4\times 0,4+5\times 0,1$$ $$=0,2+0,6+1,6+0,5=2,9.$$

2. L'espérance de l'inverse. Le théorème de transfert s'applique avec $g(x)=\frac{1}{x}$ — licite ici, puisque $X$ ne prend jamais la valeur $0$. Il donne $$E\left(\frac{1}{X}\right)=\sum _i\frac{1}{x_i}P(X=x_i),$$ les probabilités restant inchangées : $$E\left(\frac{1}{X}\right)=1\times 0,2+\frac{1}{2}\times 0,3+\frac{1}{4}\times 0,4+\frac{1}{5}\times 0,1$$ $$=0,2+0,15+0,1+0,02=0,47.$$

3. La comparaison. $$\frac{1}{E(X)}=\frac{1}{2,9}\approx 0,345,\text{tandis que}E\left(\frac{1}{X}\right)=0,47.$$ Les deux nombres sont différents, et nettement : le premier est inférieur d'environ un quart au second.

La conclusion, et le point qu'il faut retenir. L'espérance ne traverse pas une fonction quelconque : $$E(g(X))\ne g(E(X))\text{en geˊneˊral.}$$ Elle ne traverse que les transformations affines, pour lesquelles le cours donne $E(aX+b)=aE(X)+b$. Dès que $g$ n'est pas affine — un inverse, un carré, un maximum —, il faut passer par le théorème de transfert.

C'est la même mise en garde que pour $E(X^2)$, qui n'est jamais $(E(X){)}^2$ : leur différence est précisément la variance, et elle n'est nulle que si $X$ est constante.