La somme de deux jetons

1. La loi. Un tirage simultané de deux jetons parmi quatre donne six paires, toutes de même probabilité $\frac{1}{6}$ : $$\{1,2\},\{1,3\},\{1,5\},\{2,3\},\{2,5\},\{3,5\},$$ de sommes respectives $3$, $4$, $6$, $5$, $7$, $8$. Chaque somme n'apparaît qu'une fois, donc $X(\Omega )=\{3,4,5,6,7,8\}$ et

$x_i$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$
$P(X=x_i)$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$

Contrôle : la somme des probabilités vaut $6\times \frac{1}{6}=1$.

2. L'espérance. Toutes les valeurs ayant la même probabilité, $$E(X)=\frac{1}{6}(3+4+5+6+7+8)=\frac{33}{6}=\frac{11}{2}=5,5.$$

Contrôle par un autre chemin. La somme des quatre numéros vaut $1+2+3+5=11$, donc leur moyenne est $\frac{11}{4}$. Chaque jeton ayant la même chance d'être tiré, l'espérance de la somme de deux d'entre eux vaut $2\times \frac{11}{4}=\frac{11}{2}$. Même résultat.

3. La variance. On passe par le théorème de transfert avec $g(x)=x^2$, puis par la formule de Kœnig-Huygens. $$E(X^2)=\frac{1}{6}(9+16+25+36+49+64)=\frac{199}{6}.$$ $$V(X)=E(X^2)-(E(X){)}^2=\frac{199}{6}-\frac{121}{4}=\frac{398-363}{12}=\frac{35}{12}\approx 2,917.$$ D'où $\sigma (X)=\sqrt{\frac{35}{12}}\approx 1,708$.

L'espérance $5,5$ n'est prise par aucune valeur de $X$ : ce n'est pas une prévision, c'est une moyenne à long terme.