Le coût d'un nombre de pannes

1. L'espérance : $$E(X)=0\times 0,4+1\times 0,3+2\times 0,2+3\times 0,1=0,3+0,4+0,3=1.$$ Le théorème de transfert donne $E(X^2)$ sans écrire la loi de $X^2$ : $$E(X^2)=0^2\times 0,4+1^2\times 0,3+2^2\times 0,2+3^2\times 0,1=0,3+0,8+0,9=2.$$ La formule de Kœnig-Huygens donne alors $$V(X)=E(X^2)-(E(X){)}^2=2-1=1.$$

2. Par linéarité de l'espérance, $$E(C)=50E(X^2)+100E(X)=50\times 2+100\times 1=200\text{ euros}.$$ Attention. Ce n'est pas $50(E(X){)}^2+100E(X)=150$ : le carré ne traverse pas l'espérance.

3. À chaque valeur de $X$ correspond une valeur de $C$ : $X=0$ donne $C=0$ ; $X=1$ donne $C=150$ ; $X=2$ donne $C=200+200=400$ ; $X=3$ donne $C=450+300=750$. Les quatre valeurs étant distinctes, la loi de $C$ reprend les probabilités de $X$ : $$P(C=0)=0,4,P(C=150)=0,3,P(C=400)=0,2,P(C=750)=0,1.$$ D'où $$E(C)=0+150\times 0,3+400\times 0,2+750\times 0,1=45+80+75=200\text{ euros},$$ ce qui confirme le calcul précédent.

Le point à retenir. Le théorème de transfert évite d'écrire la loi de la variable transformée : on garde les probabilités de $X$ et l'on remplace les valeurs. La seconde méthode n'est utile que comme contrôle — et elle échouerait à rester simple si deux valeurs de $X$ donnaient le même coût, cas où il faudrait additionner leurs probabilités.