Le coût d'un nombre de pannes

Exercice · niveau 3 (difficile) · mathématiques (ECT 1re année), chapitre 7 — Variables aléatoires finies · Espérance et théorème de transfert

Énoncé

Le nombre $X$ de pannes d'une machine en un mois vaut $0$ , $1$ , $2$ ou $3$ avec les probabilités $0, 4$ ; $0, 3$ ; $0, 2$ ; $0, 1$ . Le coût d'entretien, en euros, est $C = 50 X^{2} + 100 X$ .

1. Calculer $E (X)$ et $E (X^{2})$ , puis $V (X)$ .

2. Calculer $E (C)$ par le théorème de transfert et la linéarité.

3. Déterminer la loi de $C$ et retrouver $E (C)$ .

Corrigé

1. L'espérance : $E (X) = 0 \times 0, 4 + 1 \times 0, 3 + 2 \times 0, 2 + 3 \times 0, 1 = 0, 3 + 0, 4 + 0, 3 = 1.$ Le théorème de transfert donne $E (X^{2})$ sans écrire la loi de $X^{2}$ : $E (X^{2}) = 0^{2} \times 0, 4 + 1^{2} \times 0, 3 + 2^{2} \times 0, 2 + 3^{2} \times 0, 1 = 0, 3 + 0, 8 + 0, 9 = 2.$ La formule de Kœnig-Huygens donne alors $V (X) = E (X^{2}) - (E (X))^{2} = 2 - 1 = 1.$

2. Par linéarité de l'espérance, $E (C) = 50 E (X^{2}) + 100 E (X) = 50 \times 2 + 100 \times 1 = 200 euros .$ Attention. Ce n'est pas $50 (E (X))^{2} + 100 E (X) = 150$ : le carré ne traverse pas l'espérance.

3. À chaque valeur de $X$ correspond une valeur de $C$ : $X = 0$ donne $C = 0$ ; $X = 1$ donne $C = 150$ ; $X = 2$ donne $C = 200 + 200 = 400$ ; $X = 3$ donne $C = 450 + 300 = 750$ . Les quatre valeurs étant distinctes, la loi de $C$ reprend les probabilités de $X$ : $P (C = 0) = 0, 4, P (C = 150) = 0, 3, P (C = 400) = 0, 2, P (C = 750) = 0, 1.$ D'où $E (C) = 0 + 150 \times 0, 3 + 400 \times 0, 2 + 750 \times 0, 1 = 45 + 80 + 75 = 200 euros,$ ce qui confirme le calcul précédent.

Le point à retenir. Le théorème de transfert évite d'écrire la loi de la variable transformée : on garde les probabilités de $X$ et l'on remplace les valeurs. La seconde méthode n'est utile que comme contrôle — et elle échouerait à rester simple si deux valeurs de $X$ donnaient le même coût, cas où il faudrait additionner leurs probabilités.

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