Le gain net d'un billet de tombola

Exercice d'entraînement · niveau 2 · mathématiques (ECT 1re année), chapitre 7 — Variables aléatoires finies · Déterminer une loi

Énoncé

Une tombola met en jeu $500$ billets vendus $3$ euros pièce. Elle comporte un lot de $200$ euros, cinq lots de $50$ euros et vingt lots de $10$ euros. On note $X$ le gain net d'un billet, c'est-à-dire le lot reçu diminué du prix du billet.

1. Déterminer la loi de $X$ . 2. Calculer $E (X)$ . 3. Le jeu est-il équitable ? Quel prix du billet le rendrait équitable ?

Corrigé

1. La loi. Un billet gagne $200$ , $50$ , $10$ euros ou rien ; le gain net retranche à chaque fois les $3$ euros payés. Les billets perdants sont au nombre de $500 - 1 - 5 - 20 = 474$ .

$x_{i}$	$- 3$	$7$	$47$	$197$
$P (X = x_{i})$	$\frac{474}{500}$	$\frac{20}{500}$	$\frac{5}{500}$	$\frac{1}{500}$

Contrôle : $474 + 20 + 5 + 1 = 500$ , donc la somme des probabilités vaut $1$ .

2. L'espérance. $E (X) = \frac{1}{500} (- 3 \times 474 + 7 \times 20 + 47 \times 5 + 197 \times 1)$ $= \frac{- 1 422 + 140 + 235 + 197}{500} = \frac{- 850}{500} = - 1, 70 euro .$

Contrôle par la linéarité. Notons $G$ le lot reçu, de sorte que $X = G - 3$ . La valeur totale des lots est $200 + 5 \times 50 + 20 \times 10 = 650$ euros, donc $E (G) = \frac{650}{500} = 1, 30$ euro, et $E (X) = E (G) - 3 = - 1, 70$ . Les deux chemins concordent.

3. Le jeu n'est pas équitable. Un jeu est équitable lorsque le gain net espéré est nul. Ici il vaut $- 1, 70$ euro : en moyenne, chaque joueur perd $1$ euro $70$ par billet — ce qui est normal, l'organisateur encaissant $500 \times 3 = 1500$ euros pour $650$ euros de lots.

Le jeu serait équitable si le prix $p$ du billet vérifiait $E (G) - p = 0$ , c'est-à-dire $p = E (G) = 1, 30 euro .$

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.