Le plus grand des deux numéros

1. Les tirages possibles sont les paires de dossiers, que l'on peut toutes écrire : $$\{1,2\},\{1,3\},\{1,4\},\{2,3\},\{2,4\},\{3,4\}.$$ Il y en a $6$, et le tirage étant au hasard, elles sont équiprobables, de probabilité $\frac{1}{6}$ chacune.

Le plus grand numéro vaut au moins $2$ et au plus $4$, donc $X(\Omega )=\{2;3;4\}$. On compte les paires favorables :

• $X=2$ pour la seule paire $\{1,2\}$, d'où $P(X=2)=\frac{1}{6}$ ;
• $X=3$ pour $\{1,3\}$ et $\{2,3\}$, d'où $P(X=3)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$ ;
• $X=4$ pour $\{1,4\}$, $\{2,4\}$ et $\{3,4\}$, d'où $P(X=4)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$.

Contrôle. $\frac{1}{6}+\frac{2}{6}+\frac{3}{6}=1$ : c'est la vérification qui accompagne toute loi.

2. L'espérance est la moyenne des valeurs pondérée par les probabilités : $$E(X)=2\times \frac{1}{6}+3\times \frac{2}{6}+4\times \frac{3}{6}=\frac{2+6+12}{6}=\frac{20}{6}=\frac{10}{3}\approx 3,33.$$

Le point à retenir. Une variable aléatoire définie par une phrase — « le plus grand », « le nombre de », « le premier tel que » — se traite en listant les issues et en regroupant celles qui donnent la même valeur. La somme des probabilités vaut alors $1$ automatiquement : c'est le contrôle du regroupement.