Le prix d'une garantie

Exercice · niveau 2 · mathématiques (ECT 1re année), chapitre 7 — Variables aléatoires finies · Espérance et théorème de transfert

Énoncé

Un vendeur propose une garantie sur un appareil. Le coût de réparation $X$ , en euros, vaut $0$ avec la probabilité $0, 88$ , $250$ avec $0, 10$ et $1500$ avec $0, 02$ . Quel prix rendrait la garantie équitable ? Quel prix laisserait $20 %$ de marge sur le coût moyen ?

Corrigé

Le coût moyen.

$E (X) = 0 \times 0, 88 + 250 \times 0, 10 + 1500 \times 0, 02 = 0 + 25 + 30 = 55 euros .$

Le prix équitable. C'est celui pour lequel le bénéfice moyen du vendeur est nul, donc $55$ euros. Si $B = p - X$ désigne son bénéfice, la linéarité donne $E (B) = p - 55$ , qui s'annule pour $p = 55$ .

Avec $20 %$ de marge. $55 \times 1, 2 = 66$ euros.

La dispersion, qui compte autant. Par transfert, $E (X^{2}) = 62500 \times 0, 10 + 2250000 \times 0, 02 = 6250 + 45000 = 51250$ , donc $V (X) = 51250 - 5 5^{2} = 48225$ et $σ (X) \approx 219, 6$ euros.

L'écart-type est quatre fois le coût moyen : sur un seul contrat le vendeur joue gros, et c'est en en signant beaucoup qu'il rend le résultat prévisible.

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