Le théorème de transfert

1. L'espérance. $$E(X)=-1\times 0,5+0\times 0,2+3\times 0,3=-0,5+0+0,9=0,4.$$

2. Par le théorème de transfert. Avec $g(x)=x^2$, le théorème donne $E(g(X))$ sans qu'on ait à déterminer la loi de $g(X)$ : on applique $g$ à chaque valeur, et l'on garde les probabilités inchangées. $$E(X^2)=(-1{)}^2\times 0,5+0^2\times 0,2+3^2\times 0,3$$ $$=0,5+0+2,7=3,2.$$

3. Par la loi de $Y$. La fonction carré n'est pas injective, mais ici aucune valeur ne se répète : $(-1{)}^2=1$, $0^2=0$ et $3^2=9$ sont trois nombres distincts. Donc $Y(\Omega )=\{0,1,9\}$ et

$y_i$	$0$	$1$	$9$
$P(Y=y_i)$	$0,2$	$0,5$	$0,3$

D'où $$E(Y)=0\times 0,2+1\times 0,5+9\times 0,3=0,5+2,7=3,2.$$ On retrouve bien le résultat de la question 2.

Ce que l'on gagne au transfert. Le second chemin a exigé de trier les valeurs de $Y$ et de regrouper celles qui coïncident — ici il n'y en avait pas, mais si $X$ prenait aussi la valeur $1$, il aurait fallu additionner deux probabilités. C'est exactement l'endroit où l'on se trompe, et le théorème de transfert l'évite.

Au passage : $E(X^2)=3,2$ tandis que $(E(X){)}^2=0,16$. Les deux ne sont pas égaux, et leur différence, $3,04$, est la variance de $X$.