Lire des probabilités sur la répartition

1. La loi. La fonction de répartition saute en chaque valeur prise par $X$ et reste constante ailleurs. Les sauts ont lieu en $2$, $5$ et $8$, donc $$X(\Omega )=\{2,5,8\}.$$ La hauteur de chaque saut est la probabilité de la valeur correspondante : $$P(X=2)=0,4-0=0,4,$$ $$P(X=5)=0,9-0,4=0,5,$$ $$P(X=8)=1-0,9=0,1.$$

$x_i$	$2$	$5$	$8$
$P(X=x_i)$	$0,4$	$0,5$	$0,1$

Contrôle : $0,4+0,5+0,1=1$.

2. Les deux probabilités. L'événement $[X>5]$ est le contraire de $[X\le 5]$, donc $$P(X>5)=1-F_X(5)=1-0,9=0,1.$$ C'est bien $P(X=8)$, la seule valeur strictement supérieure à $5$.

Pour un intervalle, on soustrait deux valeurs de $F_X$ : $$P(2<X\le 8)=F_X(8)-F_X(2)=1-0,4=0,6.$$ Contrôle direct : les valeurs strictement supérieures à $2$ et inférieures ou égales à $8$ sont $5$ et $8$, de probabilités $0,5$ et $0,1$, dont la somme fait $0,6$.

Le point à surveiller : c'est $F_X(2)$ que l'on retranche, et non $F_X(5)$. La borne de gauche est exclue, donc la valeur $2$ doit partir — et $F_X(2)=P(X\le 2)$ la contient exactement une fois.