Lire une loi dans un tableau

Exercice supplémentaire · niveau 1 (application) · mathématiques (ECT 1re année), chapitre 7 — Variables aléatoires finies · Lois et tableaux

Énoncé

Le nombre $X$ de commandes reçues en une heure suit la loi suivante, où $p$ est un réel inconnu.

$x_{i}$	$0$	$1$	$2$	$3$
$P (X = x_{i})$	$0, 15$	$0, 35$	$p$	$0, 20$

1. Déterminer $p$ . 2. Calculer $P (X \geq 2)$ et $P (X \leq 1)$ . 3. Calculer $E (X)$ .

Corrigé

1. La valeur de $p$ . Les événements $[X = 0], \dots, [X = 3]$ forment un système complet : la somme de leurs probabilités vaut $1$ . Donc $0, 15 + 0, 35 + p + 0, 20 = 1 soit 0, 70 + p = 1, donc p = 0, 30.$ On vérifie que $0, 30$ est bien compris entre $0$ et $1$ : c'est une probabilité acceptable.

2. Les deux probabilités. L'événement $[X \geq 2]$ réunit deux cas incompatibles : $P (X \geq 2) = P (X = 2) + P (X = 3) = 0, 30 + 0, 20 = 0, 50.$ L'événement $[X \leq 1]$ en est le contraire, donc $P (X \leq 1) = 1 - 0, 50 = 0, 50.$ Contrôle direct : $0, 15 + 0, 35 = 0, 50$ . Les deux chemins concordent.

3. L'espérance. C'est la moyenne des valeurs, pondérée par leurs probabilités : $E (X) = 0 \times 0, 15 + 1 \times 0, 35 + 2 \times 0, 30 + 3 \times 0, 20$ $= 0 + 0, 35 + 0, 60 + 0, 60 = 1, 55 commande par heure .$

L'espérance $1, 55$ n'est prise par aucune valeur de $X$ : ce n'est pas une prévision pour l'heure qui vient, c'est une moyenne à long terme.

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