Remonter d'une répartition à la loi

1. La loi. La fonction de répartition saute de $P(X=x_i)$ en chaque valeur prise par $X$, et reste constante ailleurs. Les sauts ont lieu en $1,2,3,4,5$, donc $X(\Omega )=\{1,2,3,4,5\}$.

La hauteur de chaque saut est la différence entre la valeur de $F_X$ juste après et juste avant. Pour $k\in \{1,2,3,4\}$, $$P(X=k)=\frac{k}{5}-\frac{k-1}{5}=\frac{1}{5},$$ en convenant que $F_X$ vaut $0$ avant $1$. Et $$P(X=5)=1-F_X(4)=1-\frac{4}{5}=\frac{1}{5}.$$ Les cinq valeurs ont donc la même probabilité $\frac{1}{5}$.

Contrôle : $5\times \frac{1}{5}=1$.

2. Espérance, variance, écart-type. $$E(X)=\frac{1}{5}(1+2+3+4+5)=\frac{15}{5}=3.$$ Par transfert avec $g(x)=x^2$, $$E(X^2)=\frac{1}{5}(1+4+9+16+25)=\frac{55}{5}=11.$$ Kœnig-Huygens donne alors $$V(X)=11-3^2=2,\sigma (X)=\sqrt{2}\approx 1,414.$$

3. Les deux probabilités. $$P(2\le X\le 4)=F_X(4)-F_X(1)=\frac{4}{5}-\frac{1}{5}=\frac{3}{5}=0,6.$$ Retrancher $F_X(1)$ et non $F_X(2)$ est ce qui conserve la valeur $2$ : $F_X(1)=P(X\le 1)$ ne contient pas $2$. $$P(X>3)=1-F_X(3)=1-\frac{3}{5}=\frac{2}{5}=0,4.$$ On remarquera que $P(X\ge 3)=1-F_X(2)=\frac{3}{5}$ : le passage du « $>$ » au « $\ge$ » ajoute $P(X=3)=\frac{1}{5}$.