Remonter de la répartition à la loi

Rappelons que $F_X(x)=P(X\le x)$ : cette fonction est constante entre les valeurs prises par $X$, et saute exactement en ces valeurs.

1. Les sauts ont lieu en $1$, $3$ et $6$, donc $X(\Omega )=\{1;3;6\}$. La probabilité d'une valeur est la hauteur du saut :

• $P(X=1)=0,2-0=0,2$ ;
• $P(X=3)=0,7-0,2=0,5$ ;
• $P(X=6)=1-0,7=0,3$.

Contrôle. $0,2+0,5+0,3=1$.

2. L'espérance vaut $$E(X)=1\times 0,2+3\times 0,5+6\times 0,3=0,2+1,5+1,8=3,5.$$

Pour $P(X>3)$, on passe par le contraire, en prenant garde que $F_X(3)$ inclut la valeur $3$ : $$P(X>3)=1-P(X\le 3)=1-F_X(3)=1-0,7=0,3.$$

Enfin $$P(1<X\le 6)=F_X(6)-F_X(1)=1-0,2=0,8,$$ ce que confirme la loi : c'est $P(X=3)+P(X=6)=0,5+0,3$, la valeur $1$ étant exclue par l'inégalité stricte.

Le point à retenir. La fonction de répartition caractérise la loi : on passe de l'une à l'autre dans les deux sens, la loi par les hauteurs de sauts, la répartition par les sommes cumulées. Le seul point délicat est le sens des inégalités — $F_X(a)$ compte $a$, $P(X>a)$ ne le compte pas.