Retrouver une loi

Retrouver une loi

Variables aléatoires finies · Loi d'une variable aléatoire · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Une variable $X$ prend les valeurs $0$ , $1$ et $2$ avec des probabilités $p_{0}$ , $p_{1}$ , $p_{2}$ inconnues. On sait que $E (X) = 1$ et $V (X) = 0, 5$ . Déterminer $p_{0}$ , $p_{1}$ et $p_{2}$ .

Corrigé

Les trois équations. La loi donne $p_{0} + p_{1} + p_{2} = 1$ ; l'espérance donne $p_{1} + 2 p_{2} = 1$ ; Kœnig-Huygens donne $E (X^{2}) = V (X) + E (X)^{2} = 0, 5 + 1 = 1, 5$ , c'est-à-dire $p_{1} + 4 p_{2} = 1, 5$ .

La résolution. En retranchant la deuxième équation de la troisième : $2 p_{2} = 0, 5$ , donc $p_{2} = 0, 25$ . Alors $p_{1} = 1 - 2 \times 0, 25 = 0, 5$ , et enfin $p_{0} = 1 - 0, 5 - 0, 25 = 0, 25$ .

Le contrôle. $E (X) = 0 \times 0, 25 + 1 \times 0, 5 + 2 \times 0, 25 = 1$ et $E (X^{2}) = 0 + 0, 5 + 4 \times 0, 25 = 1, 5$ , d'où $V (X) = 0, 5$ . Les trois nombres conviennent, et ils sont bien positifs.

La méthode à retenir. Trois inconnues, trois équations : la somme des probabilités, l'espérance, et le moment d'ordre deux obtenu via Kœnig-Huygens. C'est toujours par $E (X^{2})$ qu'on transforme une donnée de variance en équation linéaire.

Énoncé

Corrigé

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